EL VECTOR

Definición:

En física, un vector é un ente determinado por dúas características: unha magnitude (tamén denominada módulo ou intensidade) e unha dirección. Represéntase como .É útil para describir magnitudes como posición, velocidades, aceleracións, forzas, momento lineal, etc., que non poden ser descritas tan só por un número real.

Magnitudes vectoriales

As magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan dun valor numérico, unha dirección, un sentido e un punto de aplicación.

Vector:

Podemos consideralo como un segmento orientado, no que cabe distinguir:

· Unha orixe ou punto de aplicación: A.

· Un extremo: B.

· Unha dirección: a da recta que o contén.

· Un sentido: indicado pola punta de frecha en B.
· Un módulo, indicativo da lonxitude do segmento AB

Vectores iguais:

Dous vectores son iguais cando teñen o mesmo módulo e a mesma dirección.

Vector libre:

Un vector libre queda caracterizado polo seu módulo, dirección e sentido. O vector libre é independente do lugar no que se atopa.

Como segmento orientado
No mundo físico atópanse, frecuentemente, magnitudes que pola súa propia natureza non poden ser medidas tan só como un número real. É dicir, non poden porse en correspondencia *biunívoca e continua co conxunto dos números reais, como si é posible facelo coas magnitudes escalares (como a temperatura ou o tempo).

Por exemplo: a distancia final entre dous coches que parten dun mesmo sitio, e que viaxan a determinadas velocidades segundo indícanas as súas velocímetros, non queda determinada unívocamente polas mesmas. Se ambos parten con velocidades constantes de 30 e 40 km/h, ao transcorrer unha hora a distancia entre os mesmos poderá ser, entre outras posibilidades:

· De 10 km, se os dous coches levan a mesma dirección e mesmo sentido.

· De 70 km, se saen na mesma dirección e sentidos contrarios.

· De 50 km, se toman direccións perpendiculares.

Como se pode ver, a distancia percorrida depende tamén doutras calidades, ademais da mera rapidez dos coches. Se se quere que esta distancia dependa unicamente da velocidade, debe admitirse que a mesma depende tamén destas calidades, non sendo determinable soamente por un número real, senón pola dirección e sentido dos coches. É, polo tanto, un ente máis amplo que unha magnitude escalar, cuxo valor numérico, que é a rapidez indicada polo velocímetro, é tan só unha das súas características. A este ente denomínallo "vector".

Un vector pode concibirse como un segmento orientado, cuxa lonxitude dependa da súa intensidade, e a súa dirección e sentido sexan os mesmos do vector. Entón, defínese unha "magnitude vectorial" como aquela cuxos posibles valores poidan porse en correspondencia *biunívoca e continua co conxunto dos segmentos orientados.

Representación

Os vectores admiten unha representación gráfica, que fai o entendemento das súas propiedades máis intuitivo. Un vector represéntase por un segmento orientado (con forma de frecha), do cal a súa lonxitude denota a intensidade do vector, a recta onde está incluído indica a dirección ("liña de acción"), a punta da frecha indica o sentido, e o punto do cal parte determina o punto de aplicación.

En canto á notación matemática os vectores que aparecen en mecánica newtoniana e outras as aplicacións físicas adóitanse representar con frechas sobre o nome do vector:

En cambio en teoría da relatividad os vectores adoitan ser denotados na notación abstracta de índice e os anteriores vectores representaríanse mediante:

Tipos de vectores

Segundo os criterios que se utilicen para determinar a igualdade de dous vectores, poden distinguirse distintos tipos:

· Os vectores son "vectores libres" se se consideran iguais se e só se os seus módulos, direccións e sentidos son iguais. Estes vectores tamén se denominan "vectores equipolentes". Estes son os vectores máis frecuentemente considerados, xa que só representan á forza, velocidade, etc. en si mesma, sen importar a súa localización no espazo.

· Denomínanse "vectores *deslizantes" os vectores que se consideran iguais se, ademais de ter os seus módulos, direccións e sentidos iguais, teñen a mesma liña de acción (recta sobre a cal actúan). Unha forza actuando sobre un corpo e desprazándoo en liña recta é un claro exemplo de vector deslizante.

· Para rematar, poden considerarse os "vectores fixos" que se consideran iguais ao ter o mesmo módulo, dirección, sentido e punto de aplicación. Estes están "fixados" a un punto no espazo, e estando en calquera outro lugar non serían o mesmo vector. Son de utilidade ao considerar un campo vectorial en todos os puntos dun espazo, onde o vector que corresponde a un punto só ten sentido considerado en devandito punto.

Ademais, dise que dous vectores son concorrentes cando teñen o mesmo punto de aplicación, e son equipolentes cando comparten módulo, dirección e sentido. Un vector oposto a outro é o que ten o mesmo punto de aplicación, módulo e dirección pero sentido contrario.

Operacións con vectores

Suma de vectores:

Para sumar dous vectores libres e escóllense como representantes dous vectores talles que o extremo final dun coincida coa extrema orixe do outro vector.

REGRA DO PARALELOGRAMO

Tómanse como representantes dous vectores coa orixe en común, trázanse rectas paralelas aos vectores obténdose un paralelogramo cuxa diagonal coincide coa suma dos vectores.

Para sumar dous vectores súmanse as súas respectivas compoñentes.

Resta de vectores:

Para restar dous vectores libres u e v sumar u co oposto de v.

As compoñentes do vector resta obtéñense restando as compoñentes dos vectores.

Produto por un escalar

Multiplicar un vector por un escalar é tomar o vector tantas veces como indique o escalar, isto é valido tamén nos casos nos que o escalar é fraccionario ou negativo.

Se partimos da representación gráfica do vector, e sobre a mesma liña da súa dirección tomamos tantas veces o módulo de vector como marque o escalar, o resultado é o produto do vector por este escalar, se o signo do escalar é negativo, é sentido do vector será o oposto ao orixinal. Partindo dun escalar e dun vector , o produto de por é , é o produto de cada unha das coordenadas do vector polo escalar, representando o vector polas súas coordenadas:

se o multiplicamos polo escalar n:

isto é:

Representando o vector como combinación lineal dos versores:

e multiplicándoo por un escalar n:

isto é: